できます。結論を先に言うと、「多くの場合は会社にバレずに包茎手術を受けられる」が、絶対ではありません。状況（職場のルール・休暇の取り方・術後の経過）によってリスクが変わるので、下記を目安に準備しておくと安心です。
まず、受診〜手術そのものは個室対応のクリニックが多く、医療機関には守秘義務があるため第三者に診療内容が勝手に伝わることは基本的にありません。日帰り手術が主流なので長期の休暇は不要で、術後の腫れや内出血は通常数日〜1週間程度で落ち着きます。したがって、体調が落ち着くまでの数日だけ休める手段があれば職場に知られずに済むケースが多いです。
職場にバレないようにするための実践的なポイントを挙げます（順不同）。
・受診・手術は平日でも有給や半休を利用して予定を入れる。休暇申請の理由は「通院」や「私用」「体調不良」などシンプルにする。
・診断書／休業証明が必要な場合は、詳細な病名を書かない「外科手術のための休養」など、簡潔な文面で出してもらえるか事前に相談する（クリニックで対応可能なことが多い）。
・会社の健康保険組合や就業規則を確認し、病名の記載や提出先（人事かライン上司か）を把握しておく。医療情報は原則守秘扱いですが、提出先が複数だと知る人は増えます。
・術後は数日間は安静が望ましく、激しい運動や温泉・プールは控える。温泉やプールで仲間に会う可能性がある時期は避ける。
・術後すぐは下着やズボンで患部を十分に隠せるため外見でバレる可能性は低いが、痛みや歩行の違和感で職場の誰かに気づかれる場合がある。通勤手段（満員電車を避ける等）を工夫する。
・術後に追加処置や感染などのトラブルで再受診が必要になると通院が増え、説明を求められる可能性が高まる。トラブル発生時の最悪ケースも想定しておく。
・費用の支払いは個人で行えば記録が職場に行くことはまずない（会社で精算しない）。ただし、医療保険適用や給付金手続きで書類提出が必要なら内容に注意する。
・職場の人間関係が密でプライベートが筒抜けになりやすい場合は、万が一バレても説明できる「体調不良で手術を受けた」などの用意しておくと精神的に楽です。
注意点としては、絶対に隠し通せる保証はないことです。術後の表情や動作、通院回数、診断書の取り扱いなどが思わぬきっかけで情報になることがあります。どうしてもバレたくない場合は「休暇を取って手術に行く」→「復帰時の説明は最小限にする」という基本線を守るのが現実的です。
最後に法律・倫理面。医療機関は守秘義務を負いますし、会社側も個人の医療情報を不用意に共有することは好ましくありません。とはいえ実務上は人事や上司に伝わることがあるため、提出書類や休暇理由の扱いは事前に想定しておくと安心です。
